ถ้าเป็นคานยื่น (Cantilever) แบบหน้าตัด“ไม่สม่ำเสมอ” จะวิเคราะห์การโก่งตัว (Deflection) ได้อย่างไร?

From Department of Research & Development, PH2000

Date 28/10/2020

Author กรวิชญ์ กวี - R&D Engineer

คานปลายยื่น หรือ Cantilever Beam เป็นคานที่มีปลายเปิดในด้านหนึ่ง ส่วนด้านตรงข้ามจะยึดเกาะไว้กับเสาหรือผนัง คานประเภทนี้นั้นมักพบได้ทั่วไป และเป็นที่นิยมของการออกแบบเชิงสถาปัตยกรรม ในทางวิศวกรรม วิศวกรโยธาสามารถนำการออกแบบจากสถาปนิกนั้นมาทำการคำนวณวิเคราะห์คาน Cantilever นั้นเพื่อเป็นการตรวจสอบตามที่ได้รับการออกแบบได้ตามขนาด (dimension) คุณสมบัติของวัสดุ (material property) และรูปแบบน้ำหนักทางโครงสร้าง (Structural Load)

ในบทความนี้ จะนำเสนอตัวอย่างความท้าทายรูปแบบหนึ่งสำหรับวิศวกร นั่นคือ จากโดยปกติ หน้าตัดคานจะมีขนาดสม่ำเสมอ แต่ ถ้าเป็นคานยื่นแบบขนาดไม่สม่ำเสมอ จะวิเคราะห์ Deflection ได้อย่างไร? โดยตัวอย่างวันนี้จะมีตัวคานดังรูปภาพด้านล่างนี้ ซึ่งเป็นคานเหล็กที่แบกรับป้ายโฆษณาที่ด้านปลาย มีการยึดกับเสา Fix Support ยื่นออกมา 10 m และมีน้ำหนักป้ายนั้นเป็นแรง P ทิศทางลง 200 ตัน หรือ 2000 kN (assume ว่า factored แล้ว)และกำหนดวัสดุเป็นเหล็กกล้า (Steel) (ในการใช้งานจริงถ้าเอาเหล็กรูปพรรณทั่วไปแล้วรวมหุ้มด้วยคอนกรีตจะเหมาะกว่า แต่เพื่อความรวดเร็ว บทคววามนี้ assume ว่าเป็นเหล็กตันทั้งหมด) หน่วยที่ใช้คือเมตร (m) และองศาดีกรี (Deg) มีความหนาออกมา 1 m จากแบบ (ร่างด้วยซอฟต์แวร์ OnShape) โดยเราจะคิดถึงแค่โหลด P ก่อนสำหรับบทความนี้ และหน้าตัดเล็กลงตลอดระยะตามแกน X เพราะความลึกคาน d

Material behavior

· Young's modulus = 205 GPa=2.05*10^11 Pa = 2.05*10^8 kPa

· Poisson's ratio = 0.28

· Density = 7870 kg/m^3 (but self-weight is not included in this analysis)

ก่อนจะเริ่มคำนึงหน้าตัด Cross-section

ก่อนจะคำนวณไปพิจารณาหน้าตัดที่เล็กลงตามคานที่ยื่นมา เราเริ่มต้นวิเคราะห์คานแบบคิดเสียว่ามีหน้าตัดเท่ากันแบบปกติไปก่อน เริ่มต้นที่ Free Body Diagram (FBD), Shear Force Diagram (SFD), และ Bending Moment Diagram (BMD) ซึ่งแน่นอนว่าก่อนคำนวนก็สามารถเห็นได้แล้วว่ามีโมเมนต์ตามเข็มเกิดขึ้นด้านต้นคาน

(รูปจากซอฟต์แวร์ SkyCiv)

สิ่งที่จะเน้นความสำคัญคือ BMD เพราะค่ากราฟโมเมนต์ดัดในคานนี้ หากเราหารด้วย Flexural Rigidity ของคาน ซึ่งคือผลการคูณจาก elastic modulus (E) และ second moments of area (I) กราฟของโมเมนต์นั้นก็จะกลายเป็นค่า Curvature Equation

ในลำดับต่อมา เนื่องจาก E มีค่าคงที่ตามที่เราได้เลือกวัสดุไปแล้ว ก็จะเหลือแต่ I ซึ่งจะขึ้นกับหน้าตัด หรือกล่าวคือ I เป็นฟังชั่นของระยะ x ดังนั้น เราก็มาหาสมการของ I เพื่อนำกลับไปคิดกราฟ M/EI เราจะได้ Curvature Equation ที่เป็นจริงของคานยื่นรูปร่างไม่คงที่ของเรานั่นเอง และถ้านำ M/EI มาใช้ Double Integration Method จะได้ค่าระยะโก่ง (Deflection v)[i]

หาความสัมพันธ์ของความสูง d ตลอดระยะ x และนำมาสร้าง I เป็นฟังชันของ x

นำกลับไปคิดกราฟ M/EI เราจะได้ Curvature ที่เป็นจริง

เมื่อเราได้ M/EI = K(x)

หากเราทำการอินทิเกรตหนึ่งครั้งจะได้ Slope, θ = dv/dx

ค่า constant of integration С สามาราถหาได้ด้วย boundary conditions ที่ว่า จุดต้นคานด้านอ้วน x=0 m จะต้องมี θ เท่ากับ 0 เนื่องจาก Fix Support

และจาก Slope, θ หากเราทำการอินทิเกรตหนึ่งครั้งจะได้ระยะโก่ง (Deflection v)

ค่า constant of integration สามาราถหาได้ด้วย boundary conditions ที่ว่า จุดต้นคานด้านอ้วน x=0 m จะต้องมี v เท่ากับ 0 เนื่องจาก Fix Support

โดยค่า max deflection = −0.003774 m =−3.774 mm ที่ปลายคน v@(x=10) ทิศทางลง

ความแตกต่างของคานแบบ Uniform ทั่วไปกับคานแบบตัวอย่างนี้

หากเราทำคานที่เป็นสี่เหลี่ยมทื่อๆปกติ ขนาดความสูงไม่มีเปลี่ยน เราจะได้ทั้ง M และ M/EI ออกมาเป็นเส้นตรง Linear เหมือนกัน โดยหากเทียบกับคานที่มีหน้าตัดคงที่ 1 m*1.875 m ตลอดความยาว 10 เมตร จะได้ค่า Max Deflection ตามสูตรในตารางปกติ[ii] ได้เท่ากับ 5.920 mm ซึ่งมากกว่าคานในงานของเรา

ในงานตัวอย่างของเรา แม้จะเริ่มด้วย M(x) เหมือนกัน แต่มีความพิเศษคือ การเพิ่มความลึกของคาน d ที่มีมากขึ้นที่โคนจะเป็นการเพิ่ม I ให้มากขึ้น เพิ่ม rigidity จึงเกิดการแปลงของกราฟ M เมื่อเอา EI ไปหาร กลายเป็นพหุนามที่มีหน้าตาแปลกไป ที่มีดีกรี x^-2 แสดงให้เห็นว่าการทำรูปทรงให้อ้วนขึ้นเมื่อเข้าใกล้ด้านที่ติดกับจุดยึดของคาน ทำให้อัตราการเพิ่มขึ้นของมุมลาด slope มีการตีกลับทิศทางการเว้า ช่วยลดการโตขึ้นของ slope ซึ่งก็จะยิ่งเป็นการช่วยลดอัตราการโตของ Deflection ได้ดีกว่าการทำคานมาแบบตรงๆแบบปกติ

ทำการเปรียบเทียบ Curvature M/EI ของคานตรง-สีฟ้า กับคานในตัวอย่าง-สีเขียว